Question

已知函数．
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（II）若∀x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值
（II）构造新函数g（x）=ax（2-lnx），将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题，利用导数先求此函数的单调区间，再确定其最大值，最后解不等式求得实数a的取值范围
【解析】
（I）依题意，x＞0，f′（x）=
由f′（x）＞0得，解得x，函数f（x）的单调增区间为（，+∞）
由f′（x）＜0得，解得x，函数f（x）的单调减区间为（0，）
∴当x=时，函数f（x）的极小值为f（）=aln+a=a-alna
（II）设g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，则函数定义域为（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax•+alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤
又∵a＞0
∴0＜a≤