Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是AB的中点，MA₁⊥AC．
（1）求证：MA₁⊥平面ABC；
（2）求点M到平面AA₁C₁C的距离．

Answer

（1）证明A1M⊥AB，A1M⊥AC，利用线面垂直的判定，可得A1M⊥平面ABC；
（2）作ME⊥AC于E，连接A1E，作MO⊥A1E于O，证明MO⊥面A1ACC1，于是MO即为所求．
（1）证明：∵侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形．
又∵点M为AB的中点，∴A1M⊥AB，
由已知A1M⊥AC，∴A1M⊥平面ABC．（4分）
（2）【解析】
作ME⊥AC于E，连接A1E，作MO⊥A1E于O，
由已知A1M⊥AC，又∵ME⊥AC，∴AC⊥面A1ME，由MO⊂面A1ME，得AC⊥MO，
∵MO⊥A1E，且A1E⊂面A1ACC1，A1E∩AC=E，∴MO⊥面A1ACC1，
于是MO即为所求，（8分）
∵菱形ABB1A1边长为2，∴，，，
∴．（12分）