Question

已知函数．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．
【解析】
当a=1时，，则．
又f（0）=，，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数，得：．
当a=0时，，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得，
当a＞0时，，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x （-∞，1） 1
f′（x） - 无定义 - +
f（x） 减函数 减函数 极小值 增函数

所以f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，），
单调递增区间为，
当a＜0时，，
所以所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表

x 1 （1，+∞）
f′（x） + - 无定义 -
f（x） 增函数 极大值 减函数 减函数

所以f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为，（1，+∞）．