Question

已知椭圆C₁：，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意知当AB⊥x轴时，直线AB的方程为：x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）．因为点A在抛物线上．
所以，即．此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．
（II）解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．由消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由根与系数的关系可推导出求出符合条件的m、p的值．
解法二：设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2y2）．因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点，所以． 由（Ⅰ）知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率．且直线AB的方程是．由此入手可求出符合条件的m、p的值．
【解析】
（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为：
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，-）．
因为点A在抛物线上．
所以，即．
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．
（II）解法一：假设存在m、p的值使C2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB
的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由消去y得（3+4k2）x2-8k4x+4k2-12=0①
设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1，x2是方程①的两根，x1+x2=．
由
消去y得（kx-k-m）2=2px．②
因为C2的焦点在直线y=k（x-1）上，
所以，即．代入②有．
即．=3 ③
由于x1，x2也是方程=3 ③的两根，
所以x1+x2=．
从而=．
解得=4 ④

又AB过C1…C2的焦点，
所以，
则．=5 ⑤

由=4 ④、=5 ⑤式得，即k4-5k2-6=0．
解得k2=6．于是．
因为C2的焦点在直线上，
所以．
∴或．
由上知，满足条件的m、p存在，且或，．
解法二：设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2y2）．
因为AB既过C1的右焦点F（1，0），又过C2的焦点，
所以．
即． ①
由（Ⅰ）知x1≠x2，p≠2，于是直线AB的斜率，②
且直线AB的方程是，
所以．③
又因为，
所以．④
将①、②、③代入④得．=5 ⑤
因为，
所以．=6 ⑥
将②、③代入=6 ⑥得．=7 ⑦
由=5 ⑤、=7 ⑦得=．
即3p2+20p-32=0
解得．
将代入=5 ⑤得，
∴或．
由上知，满足条件的m、p存在，
且或，