先考虑当x∈[0,+∞),a<0时,方程f(x)=0的根的个数,令 g(x)=x3-2x2+x,则 f(x)=g(x)-(-a),
即把函数g(x)的图象向下平移-a个单位得到f(x)的图象.画出函数g(x)的简图,数形结合求得g(x)的零点个数,
即可求得函数g(x)的零点个数.
【解析】
∵函数f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x3-2x2+x+a,
先考虑当x∈[0,+∞)且a<0时,方程f(x)=0的根的个数(即函数f(x)的零点个数).
令 g(x)=x3-2x2+x=x•(x-1)2,则 f(x)=g(x)-(-a),
即把函数g(x)的图象向下平移-a个单位得到f(x)的图象.
而函数g(x)在[0,+∞)上的零点有2个:即 0 和1,如图所示:
故当x∈[0,+∞)且a<0 时,方程f(x)=0的根的个数可能为1,2,3,
故当x∈(-∞,+∞)时,由函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,
可得方程f(x)=0的根的个数可能为2,4,6,
故选C.