Question

已知椭圆的中心在原点，焦点为F₁（0，-），F₂（0，），且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围．

Answer

（I）设椭圆方程为，由焦点可得c，由离心率可得a，再由b2=a2-c2可得b；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△＞0①，设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得2×=x1+x2，代入韦达定理可得m，k的方程②，代入①消掉m即可；
【解析】
（I）设椭圆方程为，
由题意得c=2，e=，所以a=3，
b2=a2-c2=1，
所以椭圆的方程为；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由得（k2+9）x2+2kmx+m2-9=0，
则△=4k2m2-4（k2+9）（m2-9）＞0，即k2-m2+9＞0①，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
因为线段AB中点的横坐标为，所以2×（-）=-，
化简得k2+9=2km，所以m=②，
把②代入①整理得k4+6k2-27＞0，解得k＜-或k＞，
所以直线l倾斜角的取值范围为k＜-或k＞．