Question

已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

Answer

（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，且其一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，可得方程组：
解得a2=1，b2=3，代入可得答案；
（Ⅱ）设M（x，y），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（xP，yP），结合题意，又由M在双曲线上，可得，将其坐标代入kPM•kPN中，计算可得答案．
【解析】
（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：
解得a2=1，b2=3．
∴双曲线方程为．
（Ⅱ）设M（x，y），由双曲线的对称性，可得N（-x，-y）．
设P（xP，yP），
则，
又，
∴y2=3x2-3．
同理yP2=3xP2-3，
∴．