Question

设函数f（x）=x²-2x+b，且满足f（2^a）=b，f（a）=4求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（2^x）的最小值及相应的x的值．

Answer

（1）由f（2a）=b，代入可求b，然后再由f（a）=4可求b，进而可求函数解析式
（2）代入可得，f（2x）=22x-2•2x+5，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解
【解析】
（1）∵f（2a）=b，
∴22a-2•2a+b=b
∴2a（2a-2）=0
∴a=1
∵f（a）=a2-2a+b=4
∴b=5
∴f（x）=x2-2x+5
（2）∴f（2x）=22x-2•2x+5
令2x=t，则f（t）=t2-2t+5=（t-1）2+4
当t=1时，函数有最小值4，此时2x=1，即x=0