Question

已知函数f（x）=x²-x+c（x∈[0，1]）
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，1]，总有；
（3）若函数y=f（x）在区间[0，1]上有零点，求实数C的取值范围．

Answer

（1）给出的二次函数的对称轴是x=，图象开口向上，因此，在[0，1]上，当x=0和x=1时对应的函数值相等且最大，顶点处的函数值最小；
（2）因为x1，x2是[0，1]内的任意两个值，它们对应的函数值的绝对值的差一定小于等于函数在[0，1]内的最大值与最小值的差；
（3）函数y=f（x）在区间[0，1]上有零点，说明其顶点在x轴上或其下方，又因为图象开口向上，还要保证图象与x轴的交点在区间[0，1]上，由此列式可求实数c的范围．
【解析】
（1）∵f（x）图象的对称轴为，且开口向上，
∴f（x）在上是减函数，在上是增函数
∴f（x）max=f（0）=f（1）=c．
．
（2）对任意x1，x2∈[0，1]，总有，
即．
（3）因为函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
函数y=f（x）在[0，1]上有零点，其图象如图，

则，即
解得
所以所求实数c的取值范围是．