已知函数f（x）=lnx+ax-a2x2（a∈R）．（I）若x=1是函数y=f...

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

（I）由题设条件，可求出函数的导数，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；（II）求导函数，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间．【解析】（I）因为f（x）=lnx+ax-a2x2其定义域为（0，+∞），所以 ∵x=1是函数y=f（x）的极值点 ∴f′（1）=0 ∴1+a-2a2=0 ∴或a=1 经检验，或a=1时，x=1是函数y=f（x）的极值点（II）若，∴函数的单调递增区间为（0，+∞）若a≠0，令，∴ 当a＞0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数 ∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为当a＜0时，函数在区间，f′（x）＞0，函数为增函数；在区间，f′（x）＜0，函数为减函数 ∴函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为

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考点分析：

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