已知椭圆+=1（0＜b＜2）的离心率等于，抛物线x2=2py （p＞0）．（1...

已知椭圆

=1（0＜b＜2）的离心率等于 manfen5.com 满分网

，抛物线x²=2py （p＞0）．
（1）若抛物线的焦点F在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程；
（2）若抛物线的焦点F为（0， manfen5.com 满分网

），在抛物线上是否存在点P，使得过点P的切线与椭圆相交于A，B两点，且满足OA⊥OB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）利用椭圆的几何性质，确定椭圆的方程，可得抛物线的焦点，即可求抛物线的方程；（2）求出过P的切线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．【解析】（1）由椭圆方程得：a=2，e== ∴c=，∴=1 ∴椭圆方程为；由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即（0，1）点，∴p=2 ∴抛物线方程为x2=4y （2）由题意可得p=1，∴抛物线方程为x2=2y…① 设抛物线上存在一点P（a，b），则抛物线在点P处的切线斜率为k=y′|x=a=a ∴过点P的切线方程为y-b=a（x-a），即y=ax-b 代入椭圆方程，可得（4a2+1）x2-8abx+4b2-4=0…② 设切线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），故x1+x2=，x1x2= ∴=x1x2+y1y2═= ∵OA⊥OB，∴=0 ∴4a2-5b2+4=0 代入a2=2b可得5b2-8b-4=0 ∴b=2或-（舍去） b=2代入①得a=±2 将a，b代入②检验△=208＞0 ∴存在这样的点P（±2，2）满足条件．

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考点分析：

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