Question

一个斜三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长5，若其中一条侧棱与底面三角形的相邻两边都成45°角，则这个三棱柱的侧面积是（ ）
A．60
B．30
C．10
D．20

Answer

过A1作A1D⊥平面ABC，由∠A1AC=∠A1AB=45°，知AO是∠BAC的平分线，由△ABC是等边三角形，知AO⊥BC，所以平面BB1C1C是矩形，过O作OE⊥AB，连接A1E，由三垂线定理知A1E⊥AB，由此能求出这个三棱柱的侧面积．
【解析】
过A1作A1D⊥平面ABC，
∵∠A1AC=∠A1AB=45°，
∴AO是∠BAC的平分线，
∵△ABC是等边三角形，∴AO⊥BC，
∴AA1⊥BC，∴BC⊥BB1，
∴平面BB1C1C是矩形，
过O作OE⊥AB，连接A1E，由三垂线定理知A1E⊥AB，
在△A1AE中，A1E=AA1sin45°=5×，
∴S侧=2×+=2×+BC×BB1
=
=20+10．
故选C．