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如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. (Ⅰ...

如图,P是抛物线C:y=manfen5.com 满分网x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求manfen5.com 满分网的取值范围.

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(1)设M(x,y),欲求点M的轨迹方程,即寻找其坐标的关系,可通过另外两点P,Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解, (2)欲的取值范围,可转化为将其表示成某变量的表达式,然后再求此表达式的最值问题,另外,为了化简比例式,一般将线段投影到坐标轴上的线段解决. 【解析】 (Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x,y),依题意x1≠0,y1>0,y2>0. 由y=x2,① 得y'=x. ∴过点P的切线的斜率k=x1, ∴直线l的斜率kl=-=-, ∴直线l的方程为y-x12=-(x-x1),② 联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0. ∵M是PQ的中点 ∴x==-,y=x12-(x-x1) 消去x1,得y=x2++1(x≠0), ∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0). (Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b). 分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则=. 由y=x2,y=kx+b消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③ 则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2. ∴=|b|()≥2|b|=2|b|=2. ∵y1、y2可取一切不相等的正数, ∴的取值范围是(2,+∞).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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