Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是棱BC和CC₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求证：平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer

（1）连接CD1，交C1D于点O，由E是BC的中点，知O是CD1的中点，从而得到BD1∥OE，由此能够证明BD1∥平面C1DE．
（2）由A1B1⊥平面BCC1B1，C1E⊂面BCC1B1，知A1B1⊥C1E，∠B1C1O1=∠CEC1，∠C1B1O1=∠CC1E，且B1C1=C1C，从而Rt△B1C1P≌Rt△C1CE，由此能够证明平面A1B1P⊥平面C1DE．
（1）证明：如图1，连接CD1，交C1D于点O，
∵E是BC的中点，O是CD1的中点，
∴BD1∥OE，
∵BD1⊄平面C1DE，OE⊂平面C1DE，
由线面平行的判定定理知BD1∥平面C1DE．
（2）证明A1B1⊥平面BCC1B1，C1E⊂面BCC1B1，
∴A1B1⊥C1E，∠B1C1O1=∠CEC1，
∴∠C1B1O1=∠CC1E，且B1C1=C1C，
从而Rt△B1C1P≌Rt△C1CE，
∴C1P=CE，C1E⊥B1P．
又∵A1B1∩B1P=B1，∴C1E⊥平面A1B1P．
∵C1E⊂平面C1DE，
∴平面A1B1P⊥平面C1DE．