Question

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式和前n项之和S_n及S_n的最小值．

Answer

（1）先根据a1=2，a4=16求q，进而根据等比数列的求和公式，求得数列{an}的通项公式．
（2）先根据（1）中求得的数列{an}的通项公式求出a3，a5的值，再根据a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，求出b1和d，进而根据等差数列的求和公式，求得数列{bn}的通项公式，再利用等差数列的前n项和是n的二次函数，求出最小值．
【解析】
（1）设{an}的公比为q，
依题意有：16=2•q3，
∴q=2
∴an=2×2n-1
（2）由（1）有a3=8，a5=32
∴b3=8，b5=32
设{bn}的公差为d，
∴b1+2d=8，b1+4d=32，∴b1=-16，d=12
∴bn=-16+12（n-1）=12n-28
∴Sn===6n2-22n
=6-，n∈N*
于是当n=2时Sn的最小值S2，等于-20