Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足S_n=（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=na_n，求证：b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer

（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵Sn=（1-an），∴n≥2时，Sn-1=（1-an-1）．
两式相减可得an=（an-1-an），∴
∵n=1时，a1=S1=（1-a1），∴a1=
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列
∴an==；
（2）证明：bn=nan=n•
令Tn=b1+b2+…+bn，即Tn=1•+2•+…+n•
∴Tn=1•+2•+…+（n-1）•+n•
两式相减可得Tn=1•+1•+1•+…+1•-n•=-n•=-n•
∴Tn=-•，
∴Tn＜．