Question

已知曲线C₁：ρcos（）=；曲线C₂：ρ²=．
（1）试判断曲线C₁与C₂的交点个数；
（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求的取值范围．

Answer

（1）分别把ρcos（）=和ρ2=化为直角坐标方程得x-y=1和x2+3y2=3，联立方程组，根据方程组解的个数可判断交点个数；
（2）分两种情况进行讨论：①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l方程与曲线C2的方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可表示为关于k的函数，由k2范围可得的范围；当直线l不存在斜率时，易求A、B坐标及|MA|、|MB|、|AB|，此时可求的值，综合①②可得答案；
【解析】
（1）由ρcos（）=，得ρ（cosθ-sinθ）=，
所以x-y=1，
由ρ2=，得ρ2（3-2cos2θ）=3，
所以3（x2+y2）-2x2=3，即x2+3y2=3，
由得2x2-3x=0，解得x=0或x=，
所以曲线C1与C2的交点有两个；
（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，
△=36k4-4（1+3k2）（3k2-3）＞0，即2k2+1＞0恒成立，
则，，
|MA|=，|MB|=，|AB|=，
==
===，
又k2≥0，所以＜≤=；
②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x2+3y2=3得y=，
此时==，
综合①②得的取值范围为[，]．