Question

已知实数a满足a≤-1，函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）当a=-3时，求f（x）的极小值；
（2）若g（x）=2x³+3（b+1）x²+6bx+6（b∈R）的极小值点与f（x）的极小值点相同，证明：g（x）的极大值大于等于7．

Answer

（1）将a=-3代入到解析式中，并求导．令f′（x）=0，求出极值点，并列表判断极大值极小值点．
（2）一方面，利用（1）的结论，找出f（x）的极小值点-a-1，即为g（x）的极小值点．另一方面，对g（x）求导，求出极小值点．再建立等式，即b=a+1，得到a，b的关系式．由a的范围算出极大值g（-1）的范围，从而得证．
【解析】
（1）当a=-3时，f（x）=ex（x2-3x+1）．
f′（x）=ex（x2-3x+1）+ex（2x-3）
=ex（x2-x-2），
令f′（x）=0得x2-x-2=0
f′（x）=x2-x+2=（x+1）（x-2）．
列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）=-e2．
（2）f′（x）=ex（x2+ax+1）+ex（2x+a）
=ex[x2+（a+2）x+（a+1）]，
令f′（x）=0得x2+（a+2）x+（a+1）=（x+1）（x+a+1）=0，由于实数a满足a≤-1，
所以f（x）的极小值点x=-（a+1），则g（x）的极小值点也为x=-（a+1），
而g（x）=2x3+3（b+1）x2+6bx+6，g′（x）=6x2+6（b+1）x+6b=6（x+1）（x+b），
所以a+1=b，
即b=a+1．
又因为a≤-1，∴b≤0
所以g（x）极大值=g（-1）=-2+3（b+1）-6b+6=-3b+7≥7．
故g（x）的极大值大于等于7．