Question

已知抛物线C的方程为x²=4y，直线y=2与抛物线C相交于M，N两点，点A，B在抛物线C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求证：直线AB的斜率为定值；
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，且点N到直线MA，MB的距离的和为8，试判断△MAB的形状，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM的斜率为k，由∠BMN=∠AMN，知直线BM的斜率为-k，所以直线AM的方程为，由此能够证明直线AB的斜率为定值．
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由，，知kAM+kBM=0，∠BMN=∠AMN，由点N到直线MA，MB的距离的和为8，知点N到直线MA，MB的距离均为4，由此能得到△MAB是直角三角形．
【解析】
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AM的斜率为k，
∵∠BMN=∠AMN，所以直线BM的斜率为-k，
可求得，则直线AM的方程为，
代入x2=4y得，
∵，
同理，．（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率为，由（1）可得：，，
∴，
∴kAM+kBM=0，
∴∠BMN=∠AMN，（8分）
又点N到直线MA，MB的距离的和为8，
所以点N到直线MA，MB的距离均为4，
∵，
∴∠BMN=∠AMN=45°，
所以△MAB是直角三角形．   （10分）