Question

三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱和底面所成的角都相等，则顶点在底面三角形上的射影是底面三角形的（ ）
A．外心和内心
B．内心
C．垂心
D．外心和垂心

Answer

如图，三棱锥的顶点P在平面ABC上的射影为O，利用已知条件侧棱和底面所成的角都相等，证明△PAO≌△POB≌△POC，从而得到OA=OB=OC；又根据三棱锥的三条侧棱两两垂直，一条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边，过顶点向底面做垂线，连接底面顶点和垂足，根据线面垂直定理得到底面的高线，得到垂心．由此推出结论．
【解析】
设顶点P在平面ABC的射影O，如图连接OA，OB，OC，
∵侧棱和底面所成的角都相等，
∴∠PAO=∠PBO=∠PCO，
∵PO⊥底面ABC，
PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴△PAO≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC，
所以O为三角形的外心．
又三棱锥的三条侧棱两两垂直，
则一条棱就垂直于另两条棱组成的平面，
则这条棱就垂直于平面上的在棱锥底面的一条边，
过顶点向底面做垂线，连接底面顶点和垂足，根据线面垂直定理得到底面的高线，
∴射影必是底面三角形的垂心，
故选D．