Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2
（1）求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求平面A₁BC₁与平面ACD₁的距离．

Answer

（1）根据面面平行的判定定理，要证平面A1BC1∥平面ACD1，只需证明AC∥面A1BC1，CD1∥面A1BC1；
（2）建立空间坐标系，设为面ACD1的一个法向量，则所求距离d=||×|cos＜，＞|，根据条件计算所求值即可；
（1）证明：作图如下所示：
∵四边形ACC1A1为平行四边形，∴AC∥A1C1，
AC⊄面A1BC1，A1C1⊂A1BC1，
∴AC∥同理可证CD1∥面A1BC1，
又AC∩CD1=C，AC⊂面ACD1，CD1⊂面ACD1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）【解析】
分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A1（4，0，0），A（4，0，2），D1（4，3，0），C（0，3，2），
=（0，0，2），=（-4，3，0），=（0，3，-2），
设=（x，y，z）为面ACD1的一个法向量，
则，即，取=（3，4，6），
所以所求距离d=||×|cos＜，＞|===，
故平面A1BC1与平面ACD1的距离为．