Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成的角的余弦值；
（3）求A点到平面PCD的距离．

Answer

（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系，根据向量数量积为零可知线线垂直，从而面BEA，根据线面垂直的性质可知PD⊥BE；
（2）先分别求出向量，向量的坐标，然后利用空间向量的夹角公式求出两向量的夹角的余弦值，即为AE与CD所成角的余弦值；
（3）先求出平面PCD的法向量，然后求出DA向量在法向量上的投影的长度即为A点到平面PCD的距离．
【解析】
（1）证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
则
又
所以面BEA，BE⊂面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，
∴∠PDA=30°
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
，
于是
又
则∴AE与CD所成角的余弦值为．
（3）设平面PCD，则
即（x，y，z）•（-1，1，0）=0∴-x+y=0
令y=1则
A点到平面PCD的距离设为d，则
即A点到平面PCD的距离为．