Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长及侧棱长均为2，D是棱AB的中点，
（1）求证AC₁∥面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．
证明：（1）如图所示：
理解对角线BC1、CB1交于点M，连接MD．
∵侧面BB1C1C是正方形，∴BM=MC1．
又BD=DA，∴DM∥AC1．
又∵AC1⊄平面CDB1，DM⊂平面CDB1．
∴AC1∥平面CDB1．
（2）由（1）可知：DM∥AC1，∴∠DMB1或其补角为异面直线AC1与CB1所成的夹角．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长及侧棱长均为2，
∴，，=．
在△DMB1中，由余弦定理得cos∠DMB1==．
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线AC1与CB1所成的夹角的余弦值为．