设两对称点为A(x1,y1),B(x2,y2),由条件可设AB方程为:y=-x+m,与抛物线方程y=-x2+4消去y得关于x的一元二次方程,则△>0①,由韦达定理可表示AB中点横坐标,代入y=kx+3得其纵坐标,再代入AB方程得m与k的方程=-+m②,联立①②即可求得k的取值范围.
【解析】
设两对称点为A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB与直线y=kx+3对称,
易知k≠0,设AB方程为:y=-x+m,
由得,则△=0①,
x1+x2=,则AB中点横坐标为,代入y=kx+3得y=k•+3=,所以AB中点坐标为(,),
又中点在直线AB上,所以=-•+m,即=-+m②,
由②得m=(+),代入①解得k<-或k<-,
所以k的取值范围为:k<-或k<-.
故答案为k<-或k<-