Question

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围．

Answer

（1）设M（x，y），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解，
（2）欲的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．
【解析】
（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），依题意x1≠0，y1＞0，y2＞0．
由y=x2，①
得y'=x．
∴过点P的切线的斜率k=x1，
∴直线l的斜率kl=-=-，
∴直线l的方程为y-x12=-（x-x1），②
联立①②消去y，得x2+x-x12-2=0．
∵M是PQ的中点
∴x==-，y=x12-（x-x1）
消去x1，得y=x2++1（x≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1（x≠0）．

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．
分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为P'、Q'，则=．
由y=x2，y=kx+b消去x，得y2-2（k2+b）y+b2=0．③
则y1+y2=2（k2+b），y1y2=b2．
∴=|b|（）≥2|b|=2|b|=2．
∵y1、y2可取一切不相等的正数，
∴的取值范围是（2，+∞）．