Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer

（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；
（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；
（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．
【解析】
（1）由题意得2c=2，∴c=1，又，a2=b2+1．
消去a可得，2b4-5b2-3=0，解得b2=3或（舍去），则a2=4，
∴椭圆E的方程为．
（2）（ⅰ）设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y），则，，
∵A，P，M三点共线，∴，∴，
∵P（x1，y1）在椭圆上，∴，故为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为，直线m的斜率为，
则直线m的方程为，====，
即．
所以直线m过定点（-1，0）．