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满分5
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高中数学试题
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如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB...
如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=
.AD=2,BC=4,AA
1
=2,E是DD
1
的中点,F是平面B
1
C
1
E与直线AA
1
的交点.
(1)证明:
(i)EF∥A
1
D
1
;
(ii)BA
1
⊥平面B
1
C
1
EF;
(2)求BC
1
与平面B
1
C
1
EF所成的角的正弦值.
(1) (i)先由C1B1∥A1D1证明C1B1∥平面ADD1A1,再由线面平行的性质定理得出C1B1∥EF,证出EF∥A1D1. (ii)易通过证明B1C1⊥平面ABB1A1得出B1C1⊥BA1,再由tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,得出BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF; (2)设BA1与B1F交点为H,连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在RT△BHC1中求解即可. (1)证明(i)∵C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,∴C1B1∥平面ADD1A1, 又C1B1⊂平面B1C1EF,平面B1C1EF∩平面ADD1A1=EF, ∴C1B1∥EF,∴EF∥A1D1; (ii)∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1⊥B1C1, 又∵B1C1⊥B1A1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1, ∴B1C1⊥BA1, 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F. 所以BA1⊥平面B1C1EF; (2)【解析】 设BA1与B1F交点为H, 连接C1H,由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角. 在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=, 在RT△BHC1中,BC1=2,sin∠BC1H==, 所以BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值是.
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考点分析:
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