首先由函数单调性定义,判断f(x)=x|x-a|在[2,+∞)上单调递增;然后把a分成a≤2与a>2两种情况分别进行检验,从而得出结论.
【解析】
∵函数f(x)=x|x-a|=,对于任意的x1,x2∈[2,+∞),x1≠x2,不等式>0恒成立,
故函数在[2,+∞)上是增函数.
(1)当a≤2时,
若x∈[2,+∞),则f(x)=x(x-a)=x2-ax,其对称轴为x=,此时<2,所以,f(x)在[2,+∞)上是递增的.
(2)当a>2时,
①若x∈[a,+∞),则f(x)=x(x-a)=x2-ax,由于其对称轴为x=,所以f(x)在[a,+∞)上是递增的;
②若x∈[2,a),则f(x)=x(a-x)=-x2+ax,其对称轴为x=,所以f(x)在[,a)上是递减的,
因此f(x)在[2,a)上必有递减区间,故不满足条件.
综合(1)、(2)可知a≤2,
故答案为 (-∞,2].