Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=pa_n-2n，n∈N^*，其中常数p＞2．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）若a₂=3，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{a_n}，若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k与b_k+1之间插入2^k-1（k∈N^*）个2，得到一个新的数列{c_n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c_n}的前m项的和T_m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）把Sn和Sn+1相减整理求得2an+1=pan+1-pan-2，整理出1+an+1=（1+an），判断出数列{1+an}是首项为+1，公比为的等比数列，证得数列{an+1}为等比数列．
（2）先根据a2=3求出p的值，然后利用等比数列求出数列{an}的通项公式；
（3）先求出bn，然后求出数列Cn中，bk（含bk项）前的所有项的和，当k=10时，其和是55+210-2=1077＜2011，当k=11时，其和是66+211-2=2112＞2011，又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，所以当m=10+（1+2+22++28）+467=988时，Tm=2011，所以存在m=988使得Tm=2011．
【解析】
（1）∵2Sn=pan-2n，∴2Sn+1=pan+1-2（n+1），∴2an+1=pan+1-pan-2，
∴，∴，
∵2a1=pa1-2，∴，∴a1+1＞0
∴，∴数列{an+1}为等比数列．
（2）由（1）知，∴（8分）
又∵a2=3，∴，∴p=4，∴an=2n-1（10分）
（3）由（2）得bn=log22n，即bn=n，（n∈N*），
数列Cn中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
当k=10时，其和是55+210-2=1077＜2011
当k=11时，其和是66+211-2=2112＞2011
又因为2011-1077=934=467×2，是2的倍数，
所以当m=10+（1+2+22++28）+467=988时，Tm=2011，
所以存在m=988使得Tm=2011．