Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据不等式的解集可得所对应的一元二次方程的根，利用根与系数的关系可求出a与b的值，从而求出解析式；
（2）恒成立问题可将参数m分离出来，研究利用基本不等式研究不等式的最值，从而求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
∴f（x）=0的两个根为2与8
则2+8=-a，2×8=b
即a=-10，b=16
∴f（x）=x2-10x+16
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立
即若x＞0时，不等式x2-（10+m）x+16＞0恒成立
则m＜x+-10在（0，+∞）上恒成立
∴m＜（x+-10）min=-2
∴m＜-2