由已知中函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象过点(0,1)和点,我们易找到a,b,c之间的关系,根据辅助角公式,可将函数解析式进行化简,然后分类讨论a取不同值时,|f(x)|<2的解集情况,综合讨论结果,即可得到答案.
【解析】
已知函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象过点(0,1)和(,1),
则a+b=1①,a+c=1②,
由①②得:b=c=1-a,
∴f(x)=a+(1-a)sin(x+45°),可以分以下几种情况:
1)当a=1时,f(x)=1,符合题意;
2)当1-a>0,即a<1时,
由得,f(x)∈[1,+(1-)a],
若|f(x)|<2,只需+(1-)a<2,
∴a>-,
又∵a<1,所以-<a<1:
3)当1-a<0,即a>1时,
由得,f(x)∈[+(1-)a,1],
若|f(x)|<2,只需+(1-)a>-2
∴a<4+3
又∵a>1,所以1<a<4+3
综上所述:a的取值范围-<a<4+3
故选C