Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设出顶点式，利用f（0）=0，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）确定函数g（x）的解析式，再分类讨论，利用g（x）在[-1，1]上是减函数，即可求实数m的取值范围．
【解析】
（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设f（x）=a（x+1）2-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x+1）2-1；
（2）g（x）=f（-x）-mf（x）+1=（-x+1）2-1-m（x+1）2+m+1=（1-m）x2-2（1+m）x+1
①m=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是减函数，满足题意；
②或，解得0≤m＜1或m＞1
综上知，m≥0．