Question

已知函数为常数）．
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x₁）和（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，又x₂-x₁＞l，且x₁＞a，试比较a²+pa+q与x₁的大小．

Answer

（I）由函数的极值与导数的关系，得x=1和x=3是方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，利用根与系数的关系建立关于p、q的方程组，解之即可得到p、q的值；
（II）结合（I）的条件，给出g（x）=f（x）-1=x3-2x2+3x-1，利用导数讨论g（x）的单调性，得g（x）的极大值g（1）=＞0，而极小值g（3）=-1＜0．由此可得函数y=g（x）在R上有三个零点，即可证出方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）根据题意，得x1、x2为方程f'（x）=0即x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，得到x2+（p-1）x+q=（x-x1）（x-x2），从这个等式出发，采用构造法可得出a2+pa+q-x1=（a-x1）（a+1-x2），再讨论所得式子的正负，即可证出a2+pa+q＞x1．
【解析】
（I）对函数f（x）求导数，得f'（x）=x2+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，则
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=x3-2x2+3x，设g（x）=f（x）-1=x3-2x2+3x-1
则g'（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=＞0，g（3）=-1＜0，
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=＞0，可得g（x）=0在区间（0，1）、（1，3）、（3，4）上分别有一个零点
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x1、x2为函数的两个极值点．
即得x1、x2为方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x1+x2=1-p，x1x2=q
由已知x2＞x1＞a，得x1-a＞0且x2-a＞0
而x2+（p-1）x+q=（x-x1）（x-x2）
则a2+pa+q-a=a2+（p-1）a+q=（a-x1）（a-x2）＞0
∴a2+pa+q-x1=a2+（p-1）a+q+a-x1=（a-x1）（a+1-x2）
∵x2-x1＞l，x1＞a，得x2＞l+x1＞a+l，a+1-x2＜0
∴a2+pa+q-x1＞0，可得a2+pa+q＞x1