Question

已知，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域；
（3）设h（x）=2^-xf（x），a＞0时，对任意x₁，x₂∈[-1，1]总有成立，求a的取值范围．

Answer

（1）令t=log2x，则x=2t，故f（t）=a（2t）2-2•2t+1-a．从而得出f（x）的解析式；
（2）设m=2x，则m＞0，y=am2-2m+1-a，下面对a进行分类讨论：①当a=0时，②当a＞0时，③当a＜0时，分别求出其值域即可；
（3）函数h（x）=a•2x+（1-a）2-x-2对任意x1，x2∈[-1，1]，|h（x1）-h（x2）|≤恒成立，等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于．
【解析】
（1）令t=log2x，则x=2t，
故f（t）=a（2t）2-2•2t+1-a．
∴f（x）=a（2x）2-2•2x+1-a，
（2）再设m=2x，则m＞0，y=am2-2m+1-a，
①当a=0时，y=-2m+1（m＞0），在（0，+∞）上是减函数，其值域为（-∞，1）；
②当a＞0时，y=am2-2m+1-a的对称轴m=＞0，
故其在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．其值域为（-+1-a，+∞）；
③当a＜0时，y=am2-2m+1-a的对称轴m=＜0，
故其在（0，+∞）上是减函数．其值域为（-∞，1-a）；
（3）∵h（x）=a•2x+（1-a）2-x-2，
∴h′（x）=aln2•2x-（1-a）lna•2-x，
由h′（x）=aln2•2x-（1-a）lna•2-x=0，得x=log2（0＜a＜1）．
由x=log2＞1得0＜a＜，由x=log2＜-1，得a＞，
∵h（0）=-1，h（1）=（a-1），
由f（1）＞f（0），得（a-1）＞-1，得a＞．
①当0＜a≤时，h′（x）=aln2•2x-（1-a）lna•2-x＜0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是减函数，
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（1）=（a-1）．
∵对任意x1，x2∈[-1，1]总有成立，
∴-a-（a-1）≤，∴a≥2．不合，舍去．
②当＜a≤时，函数h（x）在[-1，x]上是减函数，在（x，1]上是增函数
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（-1）=-a，最小值是h（x）=2-2．
∵对任意x1，x2∈[-1，1]总有成立，
∴-a-2+2≤，
∴≥a≥．
③当＜a≤时，函数h（x）在[-1，x]上是减函数，在（x，1]上是增函数
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1）=（a-1），最小值是h（x）=2-2．
∵对任意x1，x2∈[-1，1]总有成立，
∴（a-1）-2+2≤，
∴＜a≤．
④当a＞时，h′（x）=aln2•2x-（1-a）lna•2-x＞0恒成立，函数h（x）在[-1，1]上是增函数，
∴函数h（x）在[-1，1]内的最大值是h（1），最小值是h（-1）．
∵对任意x1，x2∈[-1，1]总有成立，
∴（a-1）+a≤，
∴a≤．不合，舍去．
综上所述，a的取值范围为[，]．