Question

已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-1|，则函数y=g（x）的所有零点的个数是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer

先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=log5|x-1|的图象，结合图象可得当x＞6时，y=log5|x-1|＞1，此时与函数y=f（x）无交点，再根据y=log5|x-1|的图象关于直线x=1对称，结合图象即可判定函数g（x）=f（x）
-log5|x-1|的零点个数．
【解析】
由题意可得g（x）=f（x）-log5|x-1|，根据周期性画出函数f（x）=（x-1）2的图象
以及y=log5|x-1|的图象，
根据y=log5|x-1|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=6 时，log5|x-1|=1，
∴当x＞6时，y=log5|x-1|＞1，此时与函数
y=f（x）无交点．
再根据y=log5|x-1|的图象和 f（x）的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点，
则函数g（x）=f（x）-log5|x-1|的零点个数为 8，
故选D．