Question

已知双曲=1，过其右焦点F的直线（斜率存在）交双曲线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

依题意，不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，利用双曲线的第二定义可求得可求得|PQ|，继而可求得PQ的垂直平分线方程，令x=0可求得点M的横坐标，从而使问题解决．
【解析】
∵双曲线的方程为-=1，
∴其右焦点F（5，0），不妨设过其右焦点F的直线的斜率为1，
依题意，直线PQ的方程为：y=x-5．
由得：7x2+90x-369=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为方程7x2+90x-369=0的两根，
∴x1+x2=-，y1+y2=（x1-5）+（x2-5）=x1+x2-10=-，
∴线段PQ的中点N（-，-），
∴PQ的垂直平分线方程为y+=-（x+），
令y=0得：x=-．又右焦点F（5，0），
∴|MF|=5+=．①
设点P在其准线上的射影为P′，点Q在其准线上的射影为Q′，
∵双曲线的一条渐近线为y=x，其斜率k=，直线PQ的方程为：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直线PQ与双曲线的两个交点一个在左支上，另一个在右支上，不妨设点P在左支，点Q在右支，
则由双曲线的第二定义得：==e==，
∴|PF|=x1-×=x1-3，
同理可得|QF|=3-x2；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-x2-（x1-3）
=6-（x1+x2）
=6-×（-）
=．②
∴==．
故选B．