Question

点P为圆O；x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）直线l经过定点（0，2）与曲线C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）设P（x，y），M（x，y），由，能求出曲线C的方程．
Ⅱ）依题意l斜率存在，其方程为y=kx+2，由，得（4k2+1）x2+16kx+12=0，由此入手能够求出△OAB面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），M（x，y），
∵点P为圆O；x2+y2=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M，
∴，∴，…2分
代入x2+y2=4，得曲线C的方程：．…4分
（Ⅱ）依题意l斜率存在，
其方程为y=kx+2，
由，消去y整理得（4k2+1）x2+16kx+12=0，
△=（16k）2-4（4k2+1）×12=4（4k2-3），
由△＞0，得4k2-3＞0，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．②…6分
∴|AB|=
=，③
原点到直线l距离为d=，④…8分
由面积公式及③④得
SOAB=
=4
=4
=4
=4
≤4=1，…10分
当且仅当 ，即4k2-3=4时，等号成立．
此时S△OAB最大值为1．…12分．