Question

已知函数f（x）=
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的值域．

Answer

（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为-2sin（2x+），可得f（x）的最小正周期．再令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可
得到f（x）的单调递增区间．
（2）第一次变换可得y=2sin2x的图象，再经过第二次变换可得y=2sinx的图象，故g（x）=2sinx．根据x的范围求得sinx的范围，从而求得g（x）的值域．
【解析】
（1）∵函数f（x）==-cos2x-sin2x=-2sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期为 =π．
令 2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，可得函数y=-2sin[2（x+）+]=2sin2x的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sinx的图象，故g（x）=2sinx．
∵-≤x≤，∴-≤x≤，∴-≤sinx≤1，
∴g（x）的值域为[-1，2]．