Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（ 1 ）证明：PA∥平面BDE．
（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer

（1）连接AC、AC交BD于O．连接EO，因底面ABCD是正方形则点O是AC的中点，根据EO是中位线则PA∥EO，而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，根据线面平行的判定定理可知PA∥平面EDB；
（2）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，假设存在点F，则直线PB所在的向量与平面DEF的法向量平行，根据这个条件可得到一个方程，再根据有关知识判断方程的解的情况．
（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．
（2）【解析】
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设PD=CD=2，则P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
∵=（2，2，-2），=（0，1，1），
∴=0+2-2=0，∴PB⊥DE．
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，设=λ（0＜λ＜1），
则=（2λ，2λ，-2λ），=+=（2λ，2λ，2-2λ），
由=0得4λ2+4λ2-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），此时PF=PB，
即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．