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满分5
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高中数学试题
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已知函数. (I)若,求sin2x的值; (II)求函数F(x)=f(x)•f(...
已知函数
.
(I)若
,求sin2x的值;
(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f
2
(x)的最大值与单调递增区间.
(I)将函数f(x)展开,再用降次公式化简整理,得f(x)=sinx+cosx.将平方,再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式,可得sin2x的值; (II)将函数f(x)和f(-x)表达式代入,得函数F(x)=1+sin2x+cos2x,化简得:F(x)=sin(2x+)+1.由此结合正弦函数最值和单调区间的结论,可得函数F(x)的最大值与单调递增区间. 【解析】 =1+2sincos-(1-cosx) ∴f(x)=sinx+cosx (I)f(x)=sinx+cosx=,两边平方得(sinx+cosx)2= ∴1+2sinxcosx=,可得2sinxcosx=,即sin2x= (II)∵f(x)•f(-x)=(sinx+cosx)(-sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x, f2(x)=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+sin2x ∴函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)=1+sin2x+cos2x, 化简,得数F(x)=sin(2x+)+1 当2x+=+2kπ时,即x=+kπ(k∈Z)时,函数F(x)的最大值为+1 令-+2kπ<2x+<+2kπ(k∈Z),得-+kπ<x<+kπ ∴函数F(x)单调递增区间为(-+kπ,+kπ).
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考点分析:
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22
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2
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