Question

已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer

（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．
【解析】
（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得
（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，则△=16k4-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8＞0，∴k2＜
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=-
∴AB的中点的坐标为（）
∴AB的垂直平分线的方程为y+=-（x-）
将点C（m，0）代入可得0+=-（m-）
∴m=
∵0＜m＜2
∴恒成立
∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．