Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式即得到函数f（x）的单调增区间．
（II）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值
（III）将恒成立的不等式变形，分离出a，构造函数，求出函数的单调性，求出最大值令a小于等于最大值即可．
【解析】
f（x）的定义域为x＞0
（I）将a=1代入f（x）得f（x）=）=x2-3x+lnx
所以f′（x）=
令f′（x）＞0得
所以函数的单调增区间
（II）=
令f′（x）=0得 
当a≤1时，在区间[1，e]上，f′（x）＞0
f（x）在区间[1，e]上的单调递增
所以[f（x）]min=f（1）=-2a；
当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增
所以[f（x）]min=f（a）=-a2-a+alna；
当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
所以[f（x）]min=f（e）=e2-2ae-e+a．
（III）令x2-（a+2）x+alnx≥0在上有解．
即x2-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在上为正数
∴问题转化为在上有解
令h（x）=，下求此函数在的最大值
由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调性，
由于h′（x）=＞0成立，所以h（x）=在（2，e）上是增函数，又＞0
所以
故实数a的取值范围为