Question

设{a_n}是正项数列，它的前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）•（a_n+3），则a₁₀₀₅=    ．

Answer

把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4Sn=（an-1）（an+3）得到首项的值，写出通项公式．从而得到a1005．
【解析】
∵4Sn=（an-1）（an+3），
∴4sn-1=（an-1-1）（an-1+3），
两式相减得整理得：2an+2an-1=an2-an-12，
∵{an}是正项数列，
∴an-an-1=2，
∵4Sn=（an-1）（an+3），
令n=1得a1=3，
∴an=2n+1，
∴a1005=2×1005+1=2011．
故答案为：2011．