Question

已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]
（1）当a=-2时，求f（x）的最值．
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数．
（3）当a=1时，求f（|x|）的单调区间．

Answer

（1）a=-2时，表示出f（x），判断f（x）的单调性，由单调性即可求得最值；
（2）根据二次函数的图象特征，使图象的对称轴在区间[-4，6]的外边即可；
（3）作出f（|x|）的图象，根据图象即可求得单调区间；
【解析】
（1）当a=-2时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1，
f（x）在[-4，2]上递减，在[2，6]上递增，
所以f（x）min=f（2）=-1，
又f（-4）=35，f（6）=15，
所以f（x）max=f（-4）=35．
（2）f（x）图象的对称轴为x=-a，开口向上，
f（x）的减区间是（-∞，-a]，增区间是[-a，+∞），
要使f（x）在[-4，6]上是单调函数，
则有-a≥6，或-a≤-4，解得a≤-6，或a≥4，
所以实数a的取值范围是[4，+∞）∪（-∞，-6]．
（3）当a=1时，f（x）=x2+2x+3，f（|x|）=x2+2|x|+3，
作出f（|x|）的图象，如图所示：
由图象得f（x）的减区间为[-4，0]，增区间为[0，6]．