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高中数学试题
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已知函数f(x)=4lnx-ax+(a≥0) (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ...
已知函数f(x)=4lnx-ax+
(a≥0)
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a≥1时,设g(x)=2e
x
-4x+2a,若存在x
1
,x
2
∈[
,2],使f(x
1
)>g(x
2
),求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.71828…)
(Ⅰ)先求函数f(x)的定义域、f′(x),然后解关于x的不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可. (Ⅱ)存在x1,x2∈[,2],使f(x1)>g(x2)可转化为在[,2]上f(x)的最大值大于g(x)的最小值,进而转化为求f(x)、g(x)在[,2]上的最大值、最小值问题. 【解析】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=,(x>0),令h(x)=-ax2+4x-(a+3), (1)当a=0时,h(x)=4x-3,令h(x)>0,得x,此时f′(x)>0;令h(x)<0,得0<x,此时f′(x)<0,∴f(x)的减区间为(0,],增区间为[); (2)当a>0时,△=42-4(-a)[-(a+3)]=-4(a-1)(a+4), ①若a≥1,则△≤0,∴h(x)≤0,f′(x)≤0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. ②若0<a<1,则△>0,,∴,, 当x∈(0,x1)时,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(x2,+∞)时,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上,当a=0时,f(x)的减区间为(0,],增区间为[,+∞). 当0<a<1时,f(x)的减区间为(0,),(,+∞);增区间为(,). 当a≥1时,f(x)的减区间为(0,+∞). (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当a≥1时,f(x)在[,2]上单调递减,∴f(x)在[,2]上的最大值为f()=-4ln2+, g′(x)=2ex-4,令g′(x)=0,得x=ln2.当x∈[,ln2)时,g′(x)<0,∴g(x)单调递减,x∈(ln2,2]时,g′(x)>0,g(x)单调递增, ∴g(x)在[,2]上的最小值为g(ln2)=4-4ln2+2a, 由题意可知-4ln2++6>4-4ln2+2a,解得a<4,又a≥1, 所以实数a的取值范围为[1,4).
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考点分析:
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x
+ae
-x
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n
}的前以项和为S
n
,若S
3
=18,且a
1
+1,a
2
,a
3
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n
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n
=
.
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x
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2
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2
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x
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其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号)
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设曲线y=x
n+1
(n∈N
*
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x
n
,令a
n
=lgx
n
,则a
1
+a
2
+…+a
99
的值为
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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