Question

已知一次函数f（x）=ax+b与二次函数g（x）=ax²+bx+c满足a＞b＞c，且a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B；
（2）设A₁，B₁是A，B两点在x轴上的射影，求线段A₁B₁长的取值范围；
（3）求证：当时，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer

（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判断判别式△=（b-a）2-4ac＞0即可
（2））由设 A（x1，0），B（x2，0）根据方程根与系数的关系可得，，结合a+b+c=0，a＞0＞c进行判断．
（3）要证当时，f（x）＜g（x）恒成立，即要证ax2+（b-a）x+c-b≥0恒成立，，构造函数h（x）=ax2+（b-a）x+c-b，，利用二次函数的有关知识即可证得结果．
【解析】
（1）证明：由得ax2+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）2-4a（c-b）=（b+a）2-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴＜-．
∴-2＜＜-．
设A1（x1，0）B1（x2，0）
∴|A1B1|=
=，
易得＜|A1B1|2＜12
即＜|A1B1|＜2．
（3）令h（x）=ax2+（b-a）x+c-b，，
对称轴为x=＞0，
∴h（x）在（-∞，）上单调递增，且h（）=（2+）（2a+c）=（2+）a（2+）＞0
∴h（x）=ax2+（b-a）x+c-b≥0恒成立，，
即当时，f（x）＜g（x）恒成立．