Question

定义在（-1，1）的函数f（x），对于任意的x，y∈（-1，1），都有，且x＞0时，f（x）＞0，
（1）判断f（x）的奇偶性并证明
（2）证明f（x）在区间（-1，1）上是增函数
（3）若f（x）＜m²-2am+1，对所有，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系．
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论．
（3）令x=y=得：f（）=1，由（2）知，f（x）在[-，]上是增函数，f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立⇔m2-2am≥0，a∈[-1，1]恒成立．构造函数g（a）=m2-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）≥0成立即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
证明：∵函数定义域为（-1，1），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，则有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）在区间（-1，1）上是奇函数．
（2）设-1＜x1＜x2＜1，
则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（ ），而x2-x1＞0，|x1||x2|＜1
∴1-x1x2＞0
∴＞0，又x＞0时，f（x）＞0，
∴f（ ）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）∵f（）=，f（）=f（x）+f（y），
∴令x=y=得：f（）=2f（）=1，即f（）=1．
因为函数f（x）在（-1，1）上是增函数，故在[-，]上是增函数，
又f（）=1，
f（x）＜m2-2am+1，对所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立⇔1＜m2-2am+1，对所有x∈[-，]，a∈[-1，1]恒成立，
即m2-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．
记g（a）=m2-2am，对所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．
解得：m＜-2或m=0，或m＞2．
故m的取值范围为m＜-2，或m=0，或m＞2．