Question

已知函数（a≠0，x≠0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（3）若关于t（t≠0）的方程有实数解，求a的取值范围．

Answer

（1）证明：任取x1＞x2＞0，作差f（x1）-f（x2，证明其结果＞0即可；
（2）由奇函数的性质可得 ，解之可得；
（3）可得，令 m=t2，问题等价于关于m的方程 有正数解．构造函数，只需 ，解之可得．
（1）证明：任取x1＞x2＞0，
f（x1）-f（x2）=（）-（）==  …（1分）
∵x1＞x2＞0，∴x1x2＞0，x1-x2＞0，…（3分）
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数             …（5分）
（2）可得…（6分）
∴，又因为F（-x）为奇函数，
所以 …（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由得：，令 m=t2，（m＞0）…（12分）
所以本题等价于关于m的方程 有正数解．   …（14分）
令，其对称轴为 ，
∴F（m）在区间为增函数，
所以有 ，解得0＜a＜1…（16分）