Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，下列五个命题：
①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则m＜e；
②存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞g（x）成立，则m＜e²-ln2；
③对于任意x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，则m＜e-ln2；
④对于任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，则m＜e．
⑤存在x₁∈[1，2]，x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，则m＜e²．
其中正确命题的序号为    ．（将你认为正确的命题的序号都填上）

Answer

对于①函数f（x）=ex，g（x）=lnx+m，设F（x）=f（x）-g（x），利用导数研究其单调性，从而得出对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，即F（1）＞0，即可求出m的取值范围；对于②③④⑤，可结合图象法，将原问题转化为函数的最大或最小值问题进行解决即可．
【解析】
函数f（x）=ex，g（x）=lnx+m，
∴f（x）-g（x）=ex-（lnx+m），设F（x）=ex-（lnx+m），
则F′（x）=ex-，当x∈[1，2]时，F′（x）＞0，故F（x）在x∈[1，2]上是增函数，
①对于任意x∈[1，2]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，则F（x）＞0恒成立，
即F（1）＞0，e-（ln+m）＞0，∴m＜e，故正确；
②存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞g（x）成立，

则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，
∴e2＞ln2+m，则m＜e2-ln2．故正确；
③对于任意x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）恒成立，
则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最大值大即可，
∴e＞ln2+m，则m＜e-ln2；故正确；
④对于任意x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，
则f（x）在[1，2]上的最小值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，
∴e＞ln1+m，则m＜e；故正确；
⑤存在x1∈[1，2]，x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，
则f（x）在[1，2]上的最大值比g（x）在[1，2]上的最小值大即可，
∴e2＞ln1+m，则m＜e2；故正确；
故答案为：①②③④⑤．