如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯...

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求二面角A-BE-D的正弦值的大小．

（1）连接AC，BD，交点为G．由△CBG∽△ADG，且CB=2AD．知CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG．故EG‖PC．由此能够证明PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．则，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，由，知，故=（1，1，-2），由向量法能够求出二面角A-BE-D的正弦值．【解析】（1）连接AC，BD，交点为G． ∵AD∥BC， ∴△CBG∽△ADG，且CB=2AD． ∴CG=2AG，在三角形PCA中，PE=2AE，CG=2AG． ∴EG‖PC． ∵EG在平面EBD内， ∴PC‖平面EBD．（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3， ∴A（3，0，0，0），D（3，-3，0），B（0，0，0），E（2，1，0）， ∴，，，由题得向量=（0，3，0）是平面ABE的一个法向量．设向量=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量， ∵， ∴，令x=1，得=（1，1，-2），设二面角A-BE-D的平面角是θ，则cosθ=|cos＜，＞| =||=． ∴二面角A-BE-D的正弦值sinθ==．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等